前言
大部分的投資者都自認已經了解如何計算投資報酬率，其實一般人所了解的投資報酬率都還是一知半解，一旦投資情況較為複雜，就不知道如何正確計算了。這篇文章不僅能讓你正確了解投資報酬率的計算方式，亦將提出現金流量觀念，利用Excel提供的內部報酬率IRR函數，輕易的算出任何複雜投資情況的投資報酬率。
投資報酬率公式
投資報酬率公式如下：
投資報酬率(%) =
簡單說就是投資標的賺了(或賠了)相當於投資金額的百分比。10%的投資報酬率代表賺了投資額的一成。所以如果投資100萬就相當於賺了10萬。那麼100%的投資報酬率也可以說等於賺了一個資本。
例一：投資100萬於某基金，三個月後該基金現值103萬，由上面公式便可計算報酬率：((103-100)/100)*100% = 3%
例二：投資另一基金50萬元，已經投資三年了，基金現值60萬，同樣利用公式計算報酬率：((60-50)/50)*100% = 20%
例三：投資定存100萬元，一年後連本帶利領回102.5萬，所以報酬率等於2.5%，幾乎等於銀行的牌告定存利率。
年化報酬率
前面三個例子的報酬率，一個是3個月3%，另一個是3年20%，最後則是1年2.5%。每個報酬率的計算期間都不同，我們如何知道那一個投資表現比較好呢？這就好像在市場買水果時，有人賣3斤50元，也有人賣半斤10元，如何知道那一攤賣比較便宜？小學裡就有學到，必需換算成每斤多少錢，才可以直接比較。投資報酬率也是一樣，必須換算成等值的“一年”報酬率，又稱為年化報酬率，才可以知道那一個表現最好。但是，投資報酬率可不像水果，每斤多少錢可以直接除就可以。因為投資行為是以月複利計算，雖然無法直接用除法，但也還是有公式可循。
年化報酬率 = m是月數；Rm是報酬率
根據以上公式可算出前三個例子的年化報酬率：
例一： 用Excel計算 =((1+3%)^(1/3)-1)*12 結果11.88%
例二： 用Excel計算 =((1+20%)^(1/36)-1)*12 結果6.09%
例三： 用Excel計算 =((1+2.5%)^(1/12)-1)*12 結果2.47%
以上的Excel公式(本文藍色斜體都可以直接複製到Excel的儲存格裡)。
經由以上結果可以一眼望出例一的表現11.88%最為亮眼。
年化報酬率相當於銀行的定存牌告年利率，以例一來說，相當於存100萬到銀行以年利率11.88%，三個月後會拿回103萬。這樣便可以輕易看出年化報酬率的意義了。
複雜投資之報酬率
如果資金只有單筆投入而且沒有配息或部分贖回，那麼簡單的套用投資報酬率公式就可得到結果的。問題是大部分的投資行為都不是那麼單純，一般的股票每年固定會配息，而且同一檔股票於不同時期會買賣多次。債券基金除了淨值會波動外，而且每月會配息。類似這些情形，投資報酬率又是如何算呢？利用現金流量的觀念，使用Excel的內部報酬率IRR函數，可以準確及快速的算出非常復雜的投資報酬率。
一般坊間算法
一般坊間都使用簡單的計算方式：
投資報酬率(%) = (盈虧加總 / 投資額總計)*100
這種算法是不考慮金錢的時間價值的算法，會造成報酬率很大的誤差。舉個極端的例子來說，同樣以100萬元投資台積電股票，三年後股票漲了一倍，賺了100萬，所以投資報酬率為100%，就在此時又投資100萬元加碼台積電股票，請問總投資報酬率如何算？一般投資者的算法是非常直接，將所有賺的錢除以全部投入金額加起來不就好了。根據這方法，全部投入金額已增加為200萬，可是只賺了先前的100萬。哇！投資報酬率一下子只剩下50%。怎麼會這樣，加碼前還有100%報酬率，怎麼會加了碼，立即少了50%的報酬率？這都是沒有考慮金錢的時間價值的結果。
當然以上舉的例子是極端了些，主要目的是要凸顯未計入時間價值的落差。另外再舉一個較實際的例子：
例四：每股100元買兩張(2000股)台積電股票，到了第6個月再以110元/股另行添購一張，直到第12個月，才將3張已漲到120元的台積電股票全部出清，請問整體投資報酬率為多少？
若用坊間算法：
總資額總計投入：310,000 (=100 *2000 + 110*1000)
盈虧加總：50,000 (=(120-100)*2000 + (120-110)*1000)
投資報酬率：(50,000/310,000)*100 = 16.13%。
這樣的算法是不正確的，因為第一次買的20萬元股票投資期間是12個月，然而第二次加買的11萬元，卻只有6個月的投資期：不同時期投入的資金，不可直接簡單的相加，去算投資報酬率。如果你把同樣的錢拿去銀行放定存，銀行可是會用複利來計算你的投資金額的。
正確的算法是模擬銀行的定存計算方式，將20萬元放定存一年，加上11萬放定存半年，到期後銀行會給付36萬，那麼算出類似這種給付方式的定存牌告年利率會是多少？這個牌告利率等於該投資的年化報酬率。銀行的計算的方式是這樣的：(天啊！怎麼又有數學。放心，不喜歡的人直接跳到內部報酬率章節吧！)
設年利率r，每月複利一次所以月利率等於r / 12
200,000經過12個月的複利得到：200000*(1 + r / 12)12
110,000經過 6個月的複利得到：110000*(1 + r / 12)6
所以將下列公式求出r就是年化報酬率了：
200000*(1 + r / 12)12 + 110000*(1 + r / 12)6 = 360000 --------------------------- (1)
等號左邊就是投資部份的錢，等號右邊是到期拿回金額。糟糕，公式列得出來卻無法直接解，只能用代入法找出符合的值。所幸Excel IRR函數提供了我們便利的計算方式，可以快速得到r = 18.2025%，先不用管這數字是如何得到的，之後會有交代。可以用下列方式驗算，因為月利率等於年利率除以12，所以
月利率 =18.2025% / 12 = 1.51687%，因此：
200000*(1+1.51687%)12 + 110000*(1+1.51687%)6 = 239,601 + 120,399 = 360,000
Excel公式 =200000*(1+1.51687%)^12 + 110000*(1+1.51687%)^6
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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上圖是例四的現金流量圖，實心的長條圖代表實際的現金流量。水平軸以上實心長條代表現金流出，以下實心長條代表現金流入。觀察上圖實心長條的數量剛好和公式(1)的項目數量一樣，都是3個。空心長條代表現金流量的終值，到期時：現金流出的終值加總 = 現金流入的終值加總
例五：
範例四並沒有談到股利發放，延續上例，增加了第3個月每股發放3元的股利，那麼整體報酬率又該如何計算呢？
同樣的，先把公式列出來，再利用Excel求出r即可。
200000*(1 + r / 12)12 + 110000*(1 + r / 12)6 = 360000 + 6000*(1+r/12)9 ----------- (2)
等號左邊就是現金流出(下圖的上半部)，等號右邊是現金流入(下圖的下半部)。公式(2)的等號右邊有兩項，除了到期拿回的36萬元，應該還要加上第三個月拿到的股息6000元，但這股息一樣享有時間價值，所以應該有9個月的複利效果。現金流量如下圖：
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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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再次利用Excel IRR函數求得r = 20.55%
200000*(1 + 20.55% / 12)12 = 245,195
110000*(1 + 20.55% / 12)6 = 121,796
6000*(1 + 20.55% / 12)9 = 6,991
245,195 + 121,796 = 6,991+360,000
= 366,991
內部報酬率(IRR)
上述求得報酬率的方法是要求到期時，所有現金流出的終值，必須等於現金流入終值，經由這樣的條件所算出的報酬率稱為內部報酬率(Internal Return Rate)。Excel提供了相當簡單的內部報酬率算法，只需要如下圖將每期的現金流量(B3~B15)列出來，然後於B16的儲存格輸入公式 =IRR(B3:B15)，就會算出內部報酬率(IRR)了。因為一個月為一期，所以算出來的IRR為月報酬率，將月報酬率乘以12就可以得到年報酬率了。
下載本文使用之EXCEL檔案
每一期可以是任何期間，一年、一季或一個月，端看多久計算複利一次。若一個月為一期，算出來的IRR為月報酬率；若一年為一期，算出來的IRR則為年報酬率
要注意的是必須弄清楚，現金流量部份有正負之分。一般用法是現金流出為負數，現金流入為正數。例如拿出了20萬元及11萬元去買台積電股票，屬於現金流出所以是負值；配息6000元及賣出股票所得36萬元則是現金流入，當然就是正數了。
IRR之應用
因為IRR只需列出現金流量便可算出報酬率，應用之廣泛實在超乎想像。
整存整付定存
100萬放銀行整存整付定存，一年後拿回103萬，求銀行牌告年利率
月配息債券基金
買200,000債券六個月配息如下，650/700/600/800/530/652，最後淨值203,000，求月報酬率及年報酬率。
汽車貸款
車貸40萬分24期，每期繳款18,458元，求貸款年利率
因每期繳款固定，亦可用RATE函數 =RATE(24, -18458,400000)*12，結果一樣都是10%。
股票買賣
30元/股買進中鋼10張，第2個月配息2元/股，第5個月以33元/股賣出4張，第8個月以26元/股再買6張攤平，最後於第11個月時以30元賣出所剩12張股票，求該項投資之年報酬率。
標會
一年期之標會，外標型態，每會10,000元，第2個月標450、第3個月標320、第4個月標500，第5個月時以460將該會標下，相當於年利率多少的貸款？
附註：貨幣的時間價值
因為本文裡提到貨幣的時間價值，一提到金錢的時間價值就會用到複利公式。這裡特別將複利的觀念及公式複習一下，也提供初學者一些入門。
如果將本金100元以年利率10%存到銀行。第一年底時會得到10元的利息再加上本金100元，總共110元稱為本利和。第二年初將第一年底的本利和110元當作本金繼續存，第二年底時就會得到11元利息，再加上期初本金110元，總共121元。每期期末時，將期末本利和當作下一期的期初本金的計息方法稱為複利。
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期初本金
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利息
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期末本利和
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第一年
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100
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10
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110
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第二年
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110
|
11
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121
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第三年
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121
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12.1
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133.1
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第四年
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133.1
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13.31
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146.41
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第五年
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146.41
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14.641
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161.051
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FV = PV(1 + r)t PV = FV / (1 + r)t
r = 10%, t = 5
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上述例子是以一年結算一次利息，所以屬於一年複利一次。複利計算時間可以是一年、一季、一個月或者一天，但一般銀行的計算是以一個月為一期。
我們看第二年底的121是如何得到的：
設每一期初為A利率為r，期末利息為A乘以r，期末本利和 = A + Ar = A(1+r)。所以期末本利和為期初的(1+r)倍。上述例子r = 10% = 0.1，所以1+ r = 1.1
121= 110 x 1.1
= (100 x 1.1) x 1.1
= 100 x (1.1 x 1.1)
= 100 x 1.12
= 100 x 1.21
第二年期末值121等於100元乘以1.12
133.1= 121 x 1.1
= (110 x 1.1) x 1.1
= (100 x 1.1) x 1.1 x 1.1
= 100 x 1.13
= 100 x 1.331
第三年期末值133.1等於100元乘以1.13
所以終值或稱未來值(Future Value)的公式如下：
FV = PV(1 + r )t
用上述的公式，可以算出本金100元、10%年利率5年後的終值
=100*(1+10%)5 = 161.051；Excel 公式 =100*(1+10%)^5
月複利範例
銀行都採用每月複利一次計算，用現在年利率約2.2%來計算，存1萬元一年後可取回多少？
月利率 = 年利率 / 12 = 2.2% / 12 = 0.18333%
FV = 10000*(1+0.18333%)12 = 10,222 ；Excel 公式 =10000*(1+0.18333%)^12
比起一年複利一次的結果10000*(1+2.2%)1 = 10,220還多了2元，還不錯啦！
現值 PV
PV = FV / (1 + r )t
現值的意義是將未來的貨幣換算成當今的價值。例如預計五年後小孩留學基金美金5萬元，如果美金定存年利率5%，現在該準備多少錢？
PV = US$50,000/(1+5%)5 = 39,176 ; EXCEL公式 =50000/(1+5%)^5
意思是現在存US$39,174五年後自然會變成US$50,000。
